Важное место в начертательной геометрии занимает решение позиционных задач. Рассмотрим способы решения позиционных задач с участием кривых линий и поверхностей. Эти задачи называют обобщенными. Рассмотренные ранее позиционные задачи с участием прямых линий и плоскостей являются их частным случаем.
Эту задачу решают в три этапа которые повторяют в обобщенном виде этапы построения точки пересечения прямой с плоскостью (рис. 1). Алгоритм построения:
1. Заключаем кривую во вспомогательную поверхность Г: аГ;
2. Строим линию m пересечения данной поверхности и вспомогательной m = ФГ.
3. Отмечаем точки L1 пересечения данной линии (а) и построенной (m), которые являются искомыми точками пересечения: L = am.
Число точек пересечения зависит от вида поверхности, линий, их взаимного положения.
В качестве вспомогательной поверхности в общем случае образуется проецирующая цилиндрическая поверхность. Если данная плоская линия имеет одной своей проекцией прямую, то в качестве вспомогательной плоскости рекомендуется брать проекционную плоскость.
При пересечении прямой c поверхностью,в зависимости от вида поверхности, можно использовать плоскости частного и общего положения.
Рассмотрим применение алгоритма на построение пересечения различных линий и поверхностей.
Задача: Найти точки пересечения линии а с куском поверхности коноида Q (b, с, П1) и ограниченного направляющими b, с и двумя образующими (рис. 2 а). Алгоритм построения:
1. Заключаем данную линию а во вспомогательный фронтально проецирующий цилиндр Г, Г2 = а2.
2. Г Q = m, m2 = Г2 = a2.
Чтобы найти m1, строим проекции каркаса прямолинейных образующих l2i || X1,2 (рис. 2 б), так как образующие li параллельны П1. Находим на li1 проекции точек линии m, соединяем их и получаем m1, - горизонтальную проекцию линии пересечения вспомогательной поверхности Г и исходной Q.
3. Отмечаем проекции точек Li пересечения линии а с линией m: m1 a1 = L11, L21. Находим L12, L22, L12, L22 a2 (рис 2 в)