12.1 Прямые и плоскость, касательная к поверхности.
Касательной к поверхности в некоторой ее точке
называют прямую, касательную к какой-либо кривой на поверхности, проходящей
через данную точку.
Очевидно, в данной точке М поверхности Θ можно провести бесчисленное множество касательных
прямых ti. Множество касательных ti, проведенных к поверхности в некоторой ее
точке М, принадлежит плоскости S, если точка М является регулярной точкой
поверхности. Если точка М будет особой точкой поверхности Θ, то множество касательныхti
образует поверхность конуса в этой точке. Касательной плоскостью к поверхности
ее в регулярной точке называют плоскость, содержащую множество касательных,
проведенных к всевозможным кривым поверхности, проходящим через эту точку.
Касательная плоскость S к поверхности Θ
в точке М однозначно определяется двумя касательнымиt11 и t2,
проведённым к кривым а и b поверхности Θ, проходящими через точку М (рис. 1).
С понятием касательной плоскости тесно связано
понятие нормали к поверхности.
Нормалью h
поверхности Θв некоторой
ее точке М называют прямую, проходящую через эту точку и
перпендикулярную касательной плоскости, построенной в этой точке.
Из этого определения непосредственно следует способ
построения нормали. В особой точке поверхности положения нормали неопределенно
лежит.
Касательная плоскость может пересекать поверхность
по действительной или мнимой кривой. Например, на рис. 2 показана касательная
плоскость S в точке М,
принадлежащая горлу однополостного гиперболоида. Она пересекает поверхность по
двум прямым l1и l2.
Графические алгоритмы построения касательных плоскостей и нормали.
Для построения касательной плоскости и нормали в
заданной точке М необходимо:
-на поверхности взять две линии, проходящие через точку М;
-провести касательные в точке М к выбранным линиям; две
пересекающиеся касательные определяют касательную плоскость;
-провести перпендикуляр к касательной плоскости в точке М.
Если исходная поверхность коническая или
цилиндрическая, то касательная плоскость касается поверхности в точках всей
образующей, поэтому достаточно взять одну кривую на поверхности.
При построении проекций касательных на чертеже
рекомендуется выбирать на поверхности простые линии частного положения, чтобы
построение проекций линий и касательных к ним, не вызывало затруднений.